Lancamento horizontal
(esfera em trilho)

Declarado "encerrado" na manhã de sábado, 24 de fevereiro de 2018.

Neste experimento você vai investigar:

Ao soltarmos uma esfera, a partir do repouso, do alto de um plano inclinado como o ilustrado na Figura 1, o seu centro de massa realiza os seguintes movimentos (desconsiderando o atrito ou outras forças dissipativas):

Figura 1. Superposição do movimento de uma esfera no experimento do lançamento horizontal para três alturas de lançamento.

Em $A$, a energia potencial gravitacional da esfera, no momento do lançamento, pode ser calculada em relação ao nível da mesa ($E_{P,\text{m}}$) e ao nível do piso ($E_{P,\text{p}}$):

$$ E_{P,\text{m}} = mgh $$ Eq. 1
$$ E_{P,\text{p}} = mg(H+h) $$ Eq. 2

onde $m$ é a massa da esfera, $g$ a gravidade local, $H$ a distância vertical entre o centro de massa da esfera quando no piso e quando na canaleta sobre a mesa, e $h$ a distância vertical entre este ponto e o centro de massa no ponto de lançamento.

Ao longo do trecho $BC$ sobre a mesa a energia cinética tem duas componentes, a energia cinética de translação ($E_{CT,\text{m}}$) e a energia cinética de rotação ($E_{CR,\text{m}}$):

$$ E_{CT,\text{m}} = \frac{1}{2}mv_{x}^2 $$ Eq. 3

energia cinética de rotação:

$$ E_{CR,\text{m}} = \frac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2 $$ Eq. 4

onde $v_{x}$ é a velocidade (horizontal) do centro de massa da esfera, $I_{cm} = (2/5)mR^2$ o momento de inércia da esfera maciça de raio $R$ em relação ao centro de massa e $\omega_{cm} = v_{x}/R$ é a sua velocidade angular.

Note que ao substituirmos as expressões para $I_{cm}$ e $\omega_{cm}$ na equação 4, vemos que as energias cinéticas de translação e rotação têm uma relação fixa:

$$ E_{CR,\text{m}} = \frac{2}{5}E_{CT,\text{m}} $$  

que vale não apenas sobre a mesa, mas em qualquer ponto da trajetória na canaleta (mas não na queda livre).

No trecho $BC$ a conservação da energia leva a:

$$ mgh = \frac{1}{2}mv_{x}^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2 $$ Eq. 5

de onde é possível obter a velocidade esperada para o centro de massa ao longo do trecho horizontal da canaleta, incluindo o ponto $C$:

$$ v_{x,\text{teo}} = \sqrt{\frac{10}{7}gh} $$ Eq. 6

Entre $C$ e $D$ a trajetória da esfera é a combinação de um movimento retilíneo uniforme na direção horizontal com um movimento retilíneo uniformemente acelerado na direção vertical. A partir do movimento na direção vertical é possível determinar o tempo de queda $t_q$ entre $C$ e $D$ e a componente vertical da velocidade da esfera ao atingir o solo:

$$ H = \frac{1}{2}gt_q^2 $$  
$$ t_q = \sqrt{\frac{2H}{g}} $$ Eq. 7
$$ v_y = \sqrt{2gH} $$ Eq. 8

onde $H$ é a altura da queda, ou seja, a diferença entre as posições verticais do centro de massa da esfera em $C$ e em $D$. Em $D$ o balanço total da energia, é, portanto:

$$ mg(h+H) = \frac{1}{2}mv_{x}^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2 $$ Eq. 9

A partir do tempo de queda também é possível determinar o valor esperado para o alcance da esfera, isto é, a distância $x_{q,\text{teo}} = v_{x,\text{teo}} \,t_q$ entre o ponto em que deixa a canaleta e o ponto em que atinge o piso:

$$ x_{q,\text{teo}} = v_{x,\text{teo}}\,t_q = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{20}{7}Hh} $$ Eq. 10

Experimentalmente, entretanto, desejamos obter a velocidade no final da canaleta a partir do alcance da esfera:

$$ v_{x,\text{exp}} = \frac{x_{q,\text{exp}}}{t_q} $$ Eq. 11

Em resumo: a partir da equação 6 é possível determinar a velocidade esperada para o centro de massa da esfera em $C$. Utilizando esta velocidade nas equações 3 e 4, é possível determinar a energias cinéticas de translação e rotação esperadas para a esfera no ponto $C$, bem como a sua energia cinética total $E_T = E_{CT} + E_{CR}$. A equação 10 permite ainda calcular, em função dos parâmetros geométricos do sistema, o valor esperado para o alcance da esfera.

No experimento você vai medir o alcance de esfera para diferentes alturas de lançamento e comparar os resultados experimentais com os valores esperados. A partir do valor experimental para o alcance você vai determinar a velocidade esfera, as energias cinéticas de translação e de rotação desta ao deixar a canaleta e também compará-las com os resultados esperados.

Utilize a barra deslizante para alterar a altura de lançamento. Ao lado da barra, a simulação informa o valor da altura com seu respectivo erro. Clique em "OK" para liberar a esfera. Ao deixar a canaleta, a esfera prosseguirá em queda livre até atingir o piso, e deixará uma marca no ponto de impacto. Refaça o experimento para 5 alturas diferentes. Anote os dados primários, calcule os valores das grandezas solicitadas e compare com os valores esperados (veja tabelas a seguir).

Elabore um relatório contendo:



hCM = ( ± 0,005) m
Massa da esfera:(0,034 ± 0,001) kg
Raio da esfera:(0,0020 ± 0,0001) m
Altura da mesa:(0,800 ± 0,005) m

A técnica de simulação utilizada neste aplicativo está descrita no artigo do autor citado nas referências. Boa parte do código fonte daquele projeto foi utilizado nesse (o sistema rampa-reta é essencialmente o looping sem o looping propriamente dito).

As coordenadas $x$ e $y$ em função do tempo, para a descida da rampa, são dadas por:

\begin{eqnarray} x(t) &=& \frac{r}{\sin\phi} + \frac{1}{2} \frac{g}{(1 + k)} \sin \phi \cos \phi \ t^{2} \\ y(t) &=& H - \frac{1}{2} \frac{g}{(1 + k)} \sin^{2} \phi \ t^{2} \end{eqnarray}

onde $\phi$ é o ângulo de inclinação da rampa, $g$ a aceleração da gravidade, $H$ a altura de lançamento e $k$ o fator associado ao momento de inércia (2/5 no caso de uma esfera maciça). Na simulação foi feita a implementação direta dessas fórmulas.

O trecho de conexão entre a rampa de descida e a reta horizontal sobre a mesa é um arco de círculo. A posição em função do tempo pode é obtida a partir da integração da equação diferencial:

\begin{equation} \ddot{\alpha} = - \frac{g}{(1 + k)R} \sin \alpha \end{equation}

onde $R$ é o raio do círculo ao qual o segmento pertence e $\alpha$ é a coordenada angular em que a partícula se encontra. Essa equação não é integrável analíticamente e na simulação foi empregado o método de Runge-Kutta de 4a. ordem para a integração.

O movimento sobre o trecho horizontal da canaleta e da queda livre são descritos pelas tradicionais equações do movimento retilíneo uniforme e do movimento retilíneo uniformemente variado.

Os detalhes do que acontece com uma esfera transitando (escorregando + rolando) sobre uma superfície são complexos e profundamente dependentes das características da esfera e da superfíce em que se apoia. A dissipação da energia é devida a fenômenos ligados à rugosidade das superfícies dos objetos, suas elasticidades e à resistência oferecida pela ar (arrasto), todos dependentes da velocidade da esfera. Na simulação, "resumimos" a dependência com as características dos objetos e a resistência do ar a fatores multiplicativos na aceleração que a esfera tem quando desce a canaleta e quando percorre o trecho horizontal, e desprezamos a resistência do ar durante a queda livre. Desse modo, a aceleração durante a descida da rampa é um pouco menor do que a do modelo ideal ($a = g/(1+k) \times f$, onde $k = 2/5$ para uma esfera maciça e $f$ é um número sorteado entre 0,80 e 0,95) e negativa ao londo do trecho horizontal (aleatoriamente escolhida entre −0.09 e −0.11 m/s2). Os valores das flutuações nas acelerações foram escolhidos de modo que os resultados da simulação fossem semelhantes aos resultados do experimento real, em que a dissipação da energia raramente é menor do que 10%, chegando a 50% em certas configurações e equipamentos.

Figura 2. Gráficos do alcance esperado (azul) em um sistema ideal (sem atrito) e do alcance "medido" (vermelho) com a simulação, em função da raiz quadrada da altura de lançamento para 5 alturas (0,50 m, 0,10 m , 0,15 m, 0,20 m e 0,25 m). A reta sobre os valores "medidos" foi obtida com o método dos mínimos quadrados. Para esse conjunto de "dados", a dissipação de energia está em torno de 50% para a menor altura de lançamento e 10% para a maior altura de lançamento, consistente com dados experimentais reais obtidos em laboratório.

O roteiro que serviu de base para o utilizado nesta simulação foi desenvolvido nos idos de 2003 por Nelson Canzian da Silva e Celso Yuji Matuo enquanto professores da disciplina Laboratório de Física I, a primeira disciplina de laboratório cursada pelos estudantes dos cursos de licenciatura e bacharelado em física da Universidade Federal de Santa Catarina.

A dedução das equações de movimento para os vários trechos e uma descrição do esqueleto básico da simulção pode ser encontrado em:

SILVA, N. C da, Looping: solução da lagrangiana, simulação computacional e estratégias didáticas, Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 32, n. 3, p. 963-987, dez. 2015. 963 (DOI: http://dx.doi.org/10.5007/2175-7941.2015v32n3p963).

Uma dedução alternativa das equações de parte do problema utilizando uma abordagem mais tradicional pode ser encontrada em:

FITZPATRICK, R., Combined translational and rotational motion, in: Classical Mechanics, an introductory course, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node108.html. Acessado em 22/02/2018.

Para os mais curiosos a respeito dos fenômenos que intervêm no movimento de esferas rolando, existem vários recursos facilmente acessíveis na internet:

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS, Rolling resistance, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 8 Feb. 2018, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rolling_resistance&oldid=824629931 Acessado em 22/02/2018.

STACK EXCHANGE INC., "What role does static friction force play for a rolling object? How can I know what direction it points?", https://physics.stackexchange.com/questions/158817/what-role-does-static-friction-force-play-for-a-rolling-object-how-can-i-know-w. Acessado em 22/02/2018.

ROJA, R., SIMON, M., Like a rolling ball, http://robocup.mi.fu-berlin.de/buch/rolling.pdf. Acessado em 22/02/2018.

CROSS, R. Effects of surface roughness on rolling friction, publicado originalmene no European Journal of Physics, Nov. 2015. Carregado em https://www.researchgate.net/publication/281666081_Effects_of_surface_roughness_on_rolling_friction em Jun. 2017. Acessado em 22/02/2018.

GOOHPATTADER P. S., METTU, S., CHAUDHURY, M. K., Rolling motion of a rigid sphere on a structured rubber substrate aided by a random noise and an external bias, https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1108/1108.0915.pdf