Roda de Maxwell
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F
S
(0,00 ± 0,01) s
( ± 0,05) cm ( ± 0,005) cm ( ± 0,05) cm ( ± 5) g cm3 g cm2 |
O experimento da roda de Maxwell explora o conceito de momento de inércia e suas consequências na transformação da energia potencial em energia cinética de translação e de rotação.
O arranjo experimental consiste em um disco suspenso por dois fios. Os fios têm o mesmo comprimento e são enrolados em um eixo. Liberada, a roda de Maxwell cai em queda livre, mas sujeita ao desenrolar do fio, o que faz com adquira um movimento de rotação além do movimento de translação. Como a energia total é (idealmente) conservada, o movimento de translação é mais lento porque parte da energia vai para o movimento de rotação. A figura ao lado mostra uma versão comercialmente disponível [1].
A energia transferida para o movimento de rotação depende crucialmente do momento de inércia da roda. O momento de inércia de um objeto em relação a um eixo de rotação é calculado somando-se o produto $mr^2$ para cada partícula do objeto.
Para sistemas discretos é dado pela contribuição de cada massa (assumida pontual):
$$ I = \sum_{i=1}^{N} m_i r_i^2 $$Para sistemas contínuos é dado pela integração do produto da densidade com o quadrado da distância ao eixo em todo o volume:
$$ I = \int_{V} \rho(x,y,z) r^2 dV $$
Os detalhes da geometria da roda de Maxwell utilizada no Laboratório de Mecânica, Acústica e Termodinâmica do Departamento de Física da UFSC são esquematicamente mostrados na figura ao lado. A roda pode ser dividida em 5 partes: (a) aro externo; (b) disco; (c) furos no disco; (d) aro interno; (e) eixo. Medidas detalhadas das suas dimensões e massa permitiram a sua modelagem.
O momento de inércia calculado a partir do modelo é de 34609 g cm2. O momento de inércia da roda determinado experimentalmente com um pêndulo de torção é de 32450 g cm2, aproximadamente 6% menor do que o calculado.
É possível determinar o momento de inércia assumindo que há conservação da energia mecânica ao longo do movimento:
$$ \frac{dE}{dt} = 0 $$A energia mecânica tem três componentes: a energia potencial $E_{P}(t)$, a energia cinética de translação $E_{KT}(t)$ e a energia cinética de rotação $E_{KR}(t)$, todas dependentes do tempo:
$$ \frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( E_{P}(t) + E_{KT}(t) + E_{KR}(t) \right) = 0 $$Essas componentes podem ser expressas em função da distância $h(t)$, da velocidade de translação $v(t)$ e da velocidade angular $\omega(t)$ do objeto de massa total $m$ e momento de inércia $I$:
$$ \frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( mgh(t) + \frac{1}{2}mv^2(t) + \frac{1}{2}I\omega^2(t) \right) = 0 $$Considerando o fio inextensível, a velocidade de translação e a velocidade angular estão vinculadas e relacionadas ao raio $r$ do eixo:
$$ v(t) = \omega(t) r $$A equação da conservação da energia pode ser escrita como:
$$ \frac{d}{dt} \left( mgh(t) + \frac{1}{2}mv^2(t) + \frac{1}{2}I\left(\frac{v(t)}{r}\right)^2 \right) = 0 $$que, utilizando $d/dt(h(t)) = v(t)$, pode ser integrada para a obtenção de $v(t)$ e de $h(t)$:
\begin{eqnarray} v(t) & = & \frac{mgr^2}{mr^2+I} t \\ h(t) & = & \frac{1}{2}\frac{mgr^2}{mr^2+I} t^2 \\ \end{eqnarray}Da equação para a altura obtém-se o momento de inércia em função da distância e do tempo:
$$ I = mr^2 \left( \frac{gt^2}{2h} - 1 \right) $$Este é o momento de inércia em relação a um eixo de rotação no ponto de contato entre o fio e o eixo. O teorema de Steiner permite calcular o momento de inércia $I_S$ em relação ao eixo de simetria da roda:
$$ I_S = I - mr^2 $$ $$ I_S = mr^2 \left( \frac{gt^2}{2h} - 2 \right) $$A análise que segue contempla medidas do movimento da roda de Maxwell para distâncias de 20, 80 e 140 cm (raio da roda: 6,50 cm; raior do eixo: 0,350 cm). Para cada configuração, foram feitas 10 medidas.
Qual a média das medidas? Qual o desvio padrão da média? Qual o momento de inércia da roda?
A roda de Maxwell do laboratório tem massa $m$ = (1120 ± 5) g, raio do eixo $r$ = (0,350 ± 0,005) cm e um momento de inércia de $I$ = (34609 ± 3%) g cm2 = (35 ± 1) × 103 g cm2, calculado a partir de medidas de sua geometria e massa. A partir dessas informações, para distâncias percorridas de 20 cm, 80 cm e 140 cm, as seguintes grandezas foram obtidas para o final do movimento: